Такая модель выглядит следующим образом: .

Авторегрессионная модель довольно часто используется в эконометрических исследованиях, но при их построении возникает 2 проблемы.

Первая проблема касается выбора метода оценки параметров: так как в правой части регрессионного уравнения присутствует лаговая переменная , то тем самым нарушается предпосылка МНК о делении переменных на стохастическую объясняемую переменную и детерминированную объясняющую переменную.

Вторая проблема состоит в том, что регрессор явным образом коррелирует с остатком и тем самым нарушается 4–е условие Гаусса–Маркова. Поэтому применение классического МНК для оценки параметров этой модели приводит к получению смещенной оценки коэффициента c1.

Популярным методом расчета параметров AR-модели является метод инструментальных переменных (ИП). Суть этого метода заключается в следующем: та переменная в правой части AR-модели, для которой нарушается предпосылка МНК, заменяется на другую переменную, которая эту предпосылку не нарушает. Применительно к AR(1)-модели заменить на инструментальную переменную следует лаговую переменную . Эта переменная должна обладать двумя свойствами:

1) сильно коррелировать с ,

2) быть детерминированной и не коррелировать с остатком .

Рассмотрим два способа использования инструментальной переменной.

Способ 1. Так как в модели переменная зависит не только от , но и от фактора , то можно построить модель с одним регрессором и теоретическое значение , полученное с помощью такой модели, можно использовать в качестве инструментальной переменной.

Параметры в последнем уравнении можно найти с помощью классического МНК. Здесь оценка тесно коррелирует с наблюдаемой переменной и является линейной функцией от фактора , для которого 4–е условие Гаусса–Маркова не нарушается. Следовательно, ИП также не будет коррелировать с остатком . Таким образом, оценки параметров уравнения можно найти из соотношения

.

Способ 2. Подставим в AR-уравнение вместо его выражение

, тогда получим